Geometric Algebra Fulcrum Library (GA-FuL) - Dokumentation

Autor: Ahmad H. Eid E-Mail: ga.computing.eg@gmail.com

⚠️ Hinweis: Die deutsche Version wird aktualisiert. Für aktuelle Informationen siehe English Version.

Inhaltsverzeichnis

1. Einführung
2. Installation und Erste Schritte
3. Architektur und Design
4. Design-Prinzipien
5. API-Referenz
6. Verwendungsbeispiele
7. Projektstruktur
8. Zitation

Einführung

Die Geometric Algebra Fulcrum Library (GA-FuL) ist eine vereinheitlichte, generische C#-Bibliothek für Berechnungen mit geometrischer Algebra unter Verwendung beliebiger Skalartypen (Gleitkommazahlen, rationale Zahlen, symbolische Ausdrücke usw.). GA-FuL kann für das Prototyping geometrischer Algorithmen auf Basis der leistungsstarken Mathematik der geometrischen Algebra verwendet werden. Die GA-FuL-Codebasis ermöglicht numerische Berechnungen, symbolische Manipulationen und optimierte Code-Generierung.

Was ist Geometrische Algebra?

Geometrische Algebra (GA) ist eine mächtige mathematische Sprache, die viele algebraische Werkzeuge unter demselben Rahmenwerk mathematischer Operationen vereint. Solche Werkzeuge umfassen beispielsweise:

• Reelle Vektoren
• Komplexe Zahlen
• Quaternionen
• Oktonionen
• Spinoren
• Matrizen
• und viele mehr

Das wichtigste Merkmal von GA ist jedoch, dass sie den geometrischen Denkprozess über viele scheinbar unterschiedliche Anwendungsbereiche hinweg vereint.

Warum der Name “Geometric Algebra Fulcrum”?

Der Name hat zwei Bedeutungsebenen:

1. Mathematischer Fulcrum: Geometrische Algebra fungiert als mathematischer Hebelarm für geometrisches Denken über wissenschaftliche und technische Bereiche hinweg. Wir können diesen “Geometric Algebra Fulcrum” verwenden, um die abstrakten idealen Bedürfnisse des geometrischen Denkens nahtlos mit den konkreten Werkzeugen der algebraischen Manipulation unter einem vereinheitlichenden mathematischen Rahmenwerk auszubalancieren.

2. Computationaler Fulcrum: Es besteht Bedarf an Software-Werkzeugen, die als Drehpunkt fungieren, d.h. ein Fulcrum, für das Prototyping und die Implementierung verschiedener Arten von Berechnungen auf GAs Multivektoren. GA-FuL soll die Rolle eines Computational Fulcrum für das Prototyping von Algorithmen und die Implementierung von Software auf Basis von Geometrischer Algebra spielen.

Hauptmerkmale

1. Generische Skalar-Abstraktion

• Unterstützung für verschiedene Skalar-Darstellungen:
  • Gleitkommazahlen (32-bit, 64-bit)
  • Beliebig genaue Dezimalzahlen
  • Rationale Zahlen
  • Symbolische Ausdrücke (Mathematica, SymPy, etc.)
  • Mehrdimensionale Arrays und Tensoren
  • Abgetastete Signale für Signalverarbeitung

2. Speichereffiziente Sparse-Multivektoren

• Optimierte Datenstrukturen für dünnbesetzte Multivektoren in hochdimensionalen GAs
• Unterstützung für Räume mit bis zu 64 Dimensionen (optimiert)
• Unterstützung für beliebige Dimensionen (generisch)

3. Metaprogrammierung-Fähigkeiten

• Automatische Code-Generierung aus GA-Ausdrücken
• Optimierung durch:
  • Konstantenpropagierung
  • Common Subexpression Elimination
  • Symbolische Vereinfachung
  • Genetische Programmierung für weitere Optimierung
• Zielsprachen:
  • C/C++
  • C#
  • Java
  • JavaScript
  • Python
  • MATLAB
  • CUDA (geplant)

4. Geschichtetes System-Design

• Algebra-Schicht: Grundlegende GA-Operationen und Datenstrukturen
• Modellierungs-Schicht: Geometrische Modellierung und Visualisierung
• Metaprogrammierungs-Schicht: Code-Generierung und Optimierung
• System-Utilities-Schicht: Hilfsdienste für Text, Code und Web-Grafiken

5. Data-Oriented Programming (DOP)

• Trennung von Verhalten und Daten
• Verwendung generischer Datenstrukturen
• Unveränderliche Daten
• Trennung von Datenrepräsentation und Datenschema

Anwendungsbereiche

GA-FuL kann in verschiedenen Bereichen eingesetzt werden:

• Computergrafik und Visualisierung
• Robotik und Bewegungssteuerung
• Physik-Simulationen
• Signal- und Bildverarbeitung
• Maschinelles Lernen und KI
• Computer Vision
• Mathematische Modellierung
• Code-Generierung für High-Performance Computing

Projektkomponenten

Das GA-FuL-Projekt besteht aus mehreren Modulen:

Weitere Details finden Sie in der Projektstruktur-Dokumentation.

Systemanforderungen

• .NET 8.0 oder höher
• C# 12 (latest)
• Optional:
  • Wolfram Mathematica (für symbolische Berechnungen)
  • MATLAB (für MATLAB-Integration)

Erste Schritte

Für eine schnelle Einführung in GA-FuL lesen Sie bitte die Getting Started Guide.

Ein einfaches Beispiel:

// Definiere den Skalarprozessor für 64-Bit-Gleitkommazahlen
var scalarProcessor = ScalarProcessorOfFloat64.Instance;

// Erstelle einen CGA-Raum
var cga = CGaFloat64GeometricSpace5D.Instance;

// Kodiere Punkte als CGA-Nullvektoren
var point1 = cga.Encode.IpnsRound.Point(3.5, 4.3, 2.6);
var point2 = cga.Encode.IpnsRound.Point(-2.1, 3.4, 5.0);

// Führe GA-Operationen aus (vereinfachtes Beispiel)
var result = point1.Op(point2);

Weitere Beispiele finden Sie in der Beispiele-Dokumentation.

Zitation

Wenn Sie GA-FuL in Ihrer Forschung oder Ihrem Projekt verwenden, zitieren Sie bitte folgenden Artikel:

Eid, A.H.; Montoya, F.G. “Developing GA-FuL: A Generic Wide-Purpose Library for Computing with Geometric Algebra.” Mathematics 2024, 12, 2272. DOI: 10.3390/math12142272

@Article{Eid2024,
  author    = {Eid, Ahmad Hosny and Montoya, Francisco G.},
  journal   = {Mathematics},
  title     = {Developing GA-FuL: A Generic Wide-Purpose Library for Computing with Geometric Algebra},
  year      = {2024},
  issn      = {2227-7390},
  month     = jul,
  number    = {14},
  pages     = {2272},
  volume    = {12},
  doi       = {10.3390/math12142272},
  publisher = {MDPI AG},
}

Lizenz

Weitere Informationen zur Lizenz finden Sie in der LICENSE-Datei im Hauptverzeichnis des Projekts.

Ressourcen

• Haupt-Repository: GA-FuL auf GitHub
• Publikation: MDPI Mathematics - GA-FuL Artikel
• Vorgänger-Projekt: GMac

Kontakt

Für Fragen, Vorschläge oder Zusammenarbeit kontaktieren Sie bitte:

Ahmad H. Eid E-Mail: ga.computing.eg@gmail.com

Hinweis: Diese Dokumentation ist in mehrere thematische Abschnitte unterteilt. Nutzen Sie das Inhaltsverzeichnis, um zu den gewünschten Themen zu navigieren.